3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n) x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n),x^n
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar principalmente o teste da raiz (ou da razão) para encontrar o raio de convergência, depois testar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Vamos simplificar o coeficiente
an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
Sabendo que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!, 2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n,n!,
segue
an =(2n)!2^n,n!2^n,n! =(2n)!4^n,(n!)^2 =binom2nn4^n

Passo 3

Aplicando o teste da raiz, consideramos
raiz[n]l|an,x^nr| =raiz[n]binom2nn4^n,|x|^n =|x|;raiz[n]binom2nn4^n
Mas é conhecido que binom2nnsim4^nraizpi n, logo
limntoinftyraiz[n]binom2nn4^n =1
Portanto
limntoinftyraiz[n]l|an,x^nr| =|x|,
e a série converge se e só se |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Para x=1, os termos gerais são
    an=binom2nn4^nsim1raizpi n.
    Isso gera uma série do tipo sum 1/raizn, que diverge (p-série com p=tfrac12<=1).
  2. Para x=-1, a série fica
    sumn=1^infty(-1)^nbinom2nn4^n.
    Como binom2nn4^n é positivo, decresce para zero e alterna de sinal, converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência é
[-1,,1)

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