3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar principalmente o teste da raiz (ou da razão) para encontrar o raio de convergência, depois testar os extremos e .
Passo 2
Vamos simplificar o coeficiente
Sabendo que
segue
Passo 3
Aplicando o teste da raiz, consideramos
Mas é conhecido que binom2nnsim4^nraizpi n, logo
limntoinftyraiz[n]binom2nn4^n =1
Portanto
limntoinftyraiz[n]l|an,x^nr| =|x|,
e a série converge se e só se |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Para x=1, os termos gerais são an=binom2nn4^nsim1raizpi n.
Isso gera uma série do tipo sum 1/raizn, que diverge (p-série com p=tfrac12<=1).
Para x=-1, a série fica sumn=1^infty(-1)^nbinom2nn4^n.
Como binom2nn4^n é positivo, decresce para zero e alterna de sinal, converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.