( 1,0 ponto) Prove que se f:[a, b] R é contínua em [a, b] então f é integrável em [a, b].

Passo 1

O enunciado pede para provar que toda função fcolon[a,b]toR contínua em [a,b] é integrável (no sentido de Riemann) nesse mesmo intervalo. Vamos usar as definições de integrabilidade via somas superiores e inferiores de Darboux e o fato de que uma função contínua em intervalo fechado é uniformemente contínua.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b] e [a,b] é compacto, conclui-se pelo Teorema de Heine–Cantor que f é uniformemente contínua em [a,b]. Logo, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
|x-y|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilonb-a
Escolhemos uma partição Pcolon a=x0<x1<cdots<xn=b de [a,b] cujo diâmetro
|P|=max1<= i<= n(xi-xi-1)
satisfaça |P|<de<a. Assim, em cada subintervalo [xi-1,xi] temos, para quaisquer x,y nele,
|x-y|<= xi-xi-1<de<a Longrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilonb-a

Passo 3

Definimos, em cada [xi-1,xi],
Mi=supf(x)mid xi-1<= x<= xi, mi=inff(x)mid xi-1<= x<= xi
Pela uniforme continuidade já vista, para todo i vale
Mi - mi < varepsilonb-a
A soma superior de Darboux sobre P é
U(f,P)=sumi=1^n Mi,(xi - xi-1),
e a soma inferior é
L(f,P)=sumi=1^n mi,(xi - xi-1)
Então
U(f,P)-L(f,P) =sumi=1^n (Mi-mi),(xi - xi-1) <sumi=1^n varepsilonb-a,(xi - xi-1) =varepsilonb-a,(b-a) =varepsilon

Passo 4

Pela definição de integrabilidade de Riemann (ou critério de Darboux), se para todo varepsilon>0 existe uma partição P com U(f,P)-L(f,P)<varepsilon, então f é integrável em [a,b].

Resposta

Portanto, f é integrável no intervalo [a,b].

Exercícios relacionados