( 1,0 ponto) Prove que se
é contínua em
então
é integrável em
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que toda função
contínua em
é integrável (no sentido de Riemann) nesse mesmo intervalo. Vamos usar as definições de integrabilidade via somas superiores e inferiores de Darboux e o fato de que uma função contínua em intervalo fechado é uniformemente contínua.
Passo 2
Como
é contínua em
e
é compacto, conclui-se pelo Teorema de Heine–Cantor que
é uniformemente contínua em
. Logo, para todo
existe
tal que
Escolhemos uma partição
de
cujo diâmetro
satisfaça
. Assim, em cada subintervalo
temos, para quaisquer
nele,
Passo 3
Definimos, em cada
,
Pela uniforme continuidade já vista, para todo
vale
A soma superior de Darboux sobre
é
e a soma inferior é
Então
Passo 4
Pela definição de integrabilidade de Riemann (ou critério de Darboux), se para todo
existe uma partição
com
, então
é integrável em
.
Resposta
Portanto,
é integrável no intervalo
.