3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
e pede o intervalo de convergência. Vamos precisar determinar o raio de convergência (via teste da raiz ou razão) e depois testar os pontos finais e .
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz: seja . Então
Para convergir precisamos |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
No extremo x=1 a série vira
sumn=2^infty(-1)^nnln n
É uma série alternada cujos termos 1nln n são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge (de forma condicional, pois sum1/(nln n) diverge).
Passo 4
No extremo x=-1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^n(-1)^nnln n =sumn=2^infty1nln n,
que diverge por comparação com a integral de 1/(xln x) ou pelo teste de Cauchy--Condensação.
Passo 5
Concluímos que a série converge para |x|<1, converge condicionalmente em x=1 e diverge em x=-1.