3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=2^infty (-1)^n x^nn(ln n)

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=2^infty(-1)^nx^nnln n
e pede o intervalo de convergência. Vamos precisar determinar o raio de convergência (via teste da raiz ou razão) e depois testar os pontos finais x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: seja an=(-1)^nnln n. Então
limsupntoinftyraiz[n]l|anx^nr| =limntoinftyl|xr|raiz[n]1nln n =|x|cdot1 =|x|
Para convergir precisamos |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

No extremo x=1 a série vira
sumn=2^infty(-1)^nnln n
É uma série alternada cujos termos 1nln n são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge (de forma condicional, pois sum1/(nln n) diverge).

Passo 4

No extremo x=-1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^n(-1)^nnln n =sumn=2^infty1nln n,
que diverge por comparação com a integral de 1/(xln x) ou pelo teste de Cauchy--Condensação.

Passo 5

Concluímos que a série converge para |x|<1, converge condicionalmente em x=1 e diverge em x=-1.

Resposta

(-1,1]

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