Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
(a) Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.
(b) Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
e resolva a equação.
(a) Justifique que para que uma equação diferencial
(b) Verifique que a equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que a condição para que a equação diferencial
admita um fator integrante
é que
seja função somente de
. Depois, aplicar isso à equação
para encontrar o fator integrante
e resolver a equação exata resultante.
Passo 2
Multiplicando por
obtemos
. Para que isso seja exato vale
Como
depende só de
, temos
e, dividindo por
,
O lado esquerdo depende somente de
, logo para existir
o quociente
deve depender apenas de
.
Passo 3
Reescrevendo
como forma diferencial, identificamos
Passo 4
Calculamos
logo
que depende só de
. Portanto existe fator integrante
.
Passo 5
Usamos
integramos:
e, escolhendo
,
Passo 6
Multiplicando a equação original por
, obtemos a forma exata
com
Confirma-se a exatidão porque
e
.
e
Passo 7
Procuramos
tal que
e
. Integramos em
:
Depois
deve igualar
, então
e
é constante.
Passo 8
A solução implícita geral é
Resposta
com
constante.