Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
(a) Justifique que para que uma equação diferencial M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 admita um fator integrante mu=mu(x), dependendo só de x, é necessário que My-NxN dependa só de x.
(b) Verifique que a equação
2 x^-2 e^x-x y^2+2 x y y^prime=0
admite um fator integrante dependendo só de x e resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que a condição para que a equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
admita um fator integrante mu=mu(x) é que
My-NxN
seja função somente de x. Depois, aplicar isso à equação
2x^-2e^x-x y^2+2x y,y'=0
para encontrar o fator integrante mu(x) e resolver a equação exata resultante.

Passo 2

Multiplicando por mu(x) obtemos mu M,dx+mu N,dy=0. Para que isso seja exato vale
(mu M)y=(mu N)x
Como mu depende só de x, temos
mu,My=mu' N + mu,Nx
e, dividindo por mu N,
mu'mu=My-NxN
O lado esquerdo depende somente de x, logo para existir mu(x) o quociente tfracMy-NxN deve depender apenas de x.

Passo 3

Reescrevendo
2x^-2e^x-x y^2+2x y,y'=0
como forma diferencial, identificamos
M(x,y)=2x^-2e^x-x y^2, N(x,y)=2x y

Passo 4

Calculamos
My=-2x y, Nx=2y,
logo
My-NxN =-2x y-2y2x y =-x+1x,
que depende só de x. Portanto existe fator integrante mu(x).

Passo 5

Usamos
mu'mu=-x+1x=-1-1x,
integramos:
lnmu=-integral!l(1+1xr)dx=-x-ln|x|+C
e, escolhendo C=0,
mu(x)=e^-xx

Passo 6

Multiplicando a equação original por mu, obtemos a forma exata
M1,dx+N1,dy=0
com
M1=e^-xxl(2x^-2e^x-x y^2r) =2x^-3-y^2e^-x, N1=e^-xx,(2x y)=2y,e^-x
Confirma-se a exatidão porque
partial M1/partial y=-2y e^-x
e
partial N1/partial x=-2y e^-x.

Passo 7

Procuramos Psi(x,y) tal que
Psix=M1 e Psiy=N1. Integramos em x:
Psi(x,y)=integral!l(2x^-3-y^2e^-xr)dx =-x^-2+y^2e^-x+h(y)
Depois Psiy=2y e^-x+h'(y) deve igualar 2y e^-x, então h'(y)=0 e h é constante.

Passo 8

A solução implícita geral é
Psi(x,y)= -1x^2+y^2e^-x=C

Resposta

y^2e^-x-1x^2=C,
com C constante.

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