( O, 5 ponto) Para quais valores de x in R a série sumn=0^infty x^2(1+x^2)^n converge?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^infty x^2l(1+x^2r)^n
para xinR. O conteúdo principal aqui é reconhecimento de uma série geométrica e aplicação do critério de convergência desse tipo de série.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como
an ;=;x^2l(1+x^2r)^n ;=;x^2,l(tfrac11+x^2r)^n
Logo a série é
sumn=0^inftyan ;=; x^2sumn=0^inftyl(tfrac11+x^2r)^n,
ou seja, uma série geométrica de razão
r=tfrac11+x^2.

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica sum r^n diz que ela converge se, e só se, lvert rrvert<1. Aqui
llverttfrac11+x^2rrvert<1 ;Long<=ftrightarrow; tfrac11+x^2<1 ;Long<=ftrightarrow; 1<1+x^2 ;Long<=ftrightarrow; x^2>0 ;Long<=ftrightarrow; xneq0

Passo 4

No caso x=0, cada termo da série é
an=0^2(1+0^2)^n=0,
portanto a soma é 0 e a série converge trivialmente.

Resposta

A série converge para todo xinR.

Exercícios relacionados