( 1,0 ponto)
(a) (0,8) Prove que é uniformemente convergente, em R, a série de funções
sumn=1^infty 1x^2+2 n^2
(b) (0,2) O que se pode afirmar sobre a função g(x)=sumn=1^infty 1x^2+2 n^2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede, em (a), que mostremos que a série de funções
sumn=1^infty fn(x), fn(x)=1x^2+2n^2,
é uniformemente convergente em R. Em (b) devemos dizer o que podemos afirmar sobre a função
g(x)=sumn=1^infty 1x^2+2n^2
O conteúdo envolvido é o teste de Weierstrass (M-teste) para prova de convergência uniforme e a consequência de que soma uniforme de funções contínuas é contínua (além de outras propriedades como boundedness e comportamento no infinito).

Passo 2

Para usar o M-teste, estimamos cada termo por uma constante independente de x. Para todo xinR e todo n>=1 temos
x^2+2n^2>=2n^2 Longrightarrow 0<= fn(x)=1x^2+2n^2<=12n^2
Como a série numérica
sumn=1^infty12n^2=12sumn=1^infty1n^2
converge (pois sum1/n^2=pi^2/6), pelo M-teste a série sum fn(x) converge uniformemente em R.

Passo 3

Cada fn(x)=1/(x^2+2n^2) é contínua em R. Como a convergência da série é uniforme, a soma
g(x)=sumn=1^inftyfn(x)
é contínua em todo R. Além disso, pelo mesmo estimador temos
0<= g(x)<=sumn=1^infty12n^2=pi^212,
logo g é também limitada.

Passo 4

Para ver o comportamento de g(x) quando |x|toinfty, note que para todo N fixo
lim|x|toinftysumn=1^N1x^2+2n^2 =sumn=1^Nlim|x|toinfty1x^2+2n^2 =0
Dado varepsilon>0, escolhemos N tal que
sumn=N+1^infty!1/(2n^2)<varepsilon/2 (tails uniformemente pequenas) e então x grande o suficiente para que a soma dos primeiros N termos fique abaixo de varepsilon/2. Assim lim|x|toinftyg(x)=0.

Resposta

(a) A série converge uniformemente em R pelo M-teste, usando 1/(x^2+2n^2)<=1/(2n^2).
(b) A função g(x) é contínua e limitada em R, satisfaz 0<= g(x)<=pi^2/12, é par e decresce a zero quando |x|toinfty.

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