( 1,0 ponto)
(a)
Prove que é uniformemente convergente, em
, a série de funções
(b)
O que se pode afirmar sobre a função
? Justifique sua resposta.
(a)
Passo 1
O enunciado pede, em (a), que mostremos que a série de funções
é uniformemente convergente em
. Em (b) devemos dizer o que podemos afirmar sobre a função
O conteúdo envolvido é o teste de Weierstrass (M-teste) para prova de convergência uniforme e a consequência de que soma uniforme de funções contínuas é contínua (além de outras propriedades como boundedness e comportamento no infinito).
Passo 2
Para usar o M-teste, estimamos cada termo por uma constante independente de
. Para todo
e todo
temos
Como a série numérica
converge (pois
), pelo M-teste a série
converge uniformemente em
.
Passo 3
Cada
é contínua em
. Como a convergência da série é uniforme, a soma
é contínua em todo
. Além disso, pelo mesmo estimador temos
logo
é também limitada.
Passo 4
Para ver o comportamento de
quando
, note que para todo
fixo
Dado
, escolhemos
tal que
(tails uniformemente pequenas) e então
grande o suficiente para que a soma dos primeiros
termos fique abaixo de
. Assim
.
Resposta
(a) A série converge uniformemente em
pelo M-teste, usando
.
(b) A função é contínua e limitada em
, satisfaz
, é par e decresce a zero quando
.
(b) A função