3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty n!x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^inftyn!x^n. O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar onde ela converge.

Passo 2

Denotando o termo geral por an=n!x^n, aplicamos o teste da razão calculando
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1)!,|x|^,n+1n!,|x|^,n =limntoinfty(n+1),|x|

Passo 3

Se |x|>0, então (n+1)|x|toinfty, ou seja L=infty>1 e a série diverge. Se x=0, todos os termos com n>=1 são zero, então a série converge trivialmente.

Passo 4

Isso mostra que o raio de convergência é R=0, logo o único ponto em que a série converge é x=0.

Resposta

A série converge apenas para x=0.

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