Resolva:
(x^2+1) d yd x-x y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
,(x^2+1)dydx-xy=1.
Isso é uma ODE linear no formato padrão
dydx+P(x),y=Q(x),
onde vamos identificar P(x) e Q(x) e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos a ODE na forma
dydx-xx^2+1,y=1x^2+1
Aqui
P(x)=-xx^2+1, Q(x)=1x^2+1

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(-integralxx^2+1,dxr)
Fazendo integral x/(x^2+1),dx=tfrac12ln(x^2+1), obtemos
mu(x)=expl(-tfrac12ln(x^2+1)r) =(x^2+1)^-tfrac12

Passo 4

Multiplicamos a ODE original por mu(x), ficando
(x^2+1)^-tfrac12dydx -x(x^2+1)^tfrac32,y =1(x^2+1)^tfrac32
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
yraizx^2+1,
pois
ddxl(yraizx^2+1r) =(x^2+1)^-tfrac12dydx -x(x^2+1)^tfrac32,y

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
yraizx^2+1 =integral1(x^2+1)^tfrac32,dx + C
Reconhecemos que
ddxl(xraizx^2+1r) =1(x^2+1)^tfrac32,
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integral1(x^2+1)^tfrac32,dx =xraizx^2+1

Passo 6

Substituindo na integral,
yraizx^2+1 =xraizx^2+1+C
Multiplicando por raizx^2+1, obtemos a solução geral
y = x + Craizx^2+1

Resposta

y = x + Craizx^2+1,
onde C é constante arbitrária.

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