Resolva:
y^prime+y tan x=x sen x cos x, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' + y,tan x = xsin xcos x,
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo é “equação diferencial linear de primeira ordem” e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante pela condição inicial.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
onde P(x)=tan x e Q(x)=xsin xcos x.
O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral tan x,dx = e^-ln|cos x| = 1cos x,
considerando x em um intervalo onde cos x>0.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
1cos x,y' + tan xcos x,y = xsin x
O lado esquerdo é a derivada do produto mu(x),y, ou seja,
l(y/cos xr)' = xsin x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral l(y/cos xr)' dx = integral xsin x,dx Longrightarrow ycos x = integral xsin x,dx + C
Para calcular integral xsin x,dx, usamos integração por partes (tomando u=x, dv=sin x,dx):
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x
Logo
ycos x = -xcos x + sin x + C

Passo 5

Isolando y, temos
y = l(-xcos x + sin x + Cr)cos x = -xcos^2 x + sin xcos x + Ccos x
Agora aplicamos y(0)=2: como cos0=1 e sin0=0,
y(0)=(-0 + 0 + C)cdot1 = C = 2
Portanto a solução particular é
y = -xcos^2 x + sin xcos x + 2cos x

Resposta

y = -xcos^2 x + sin xcos x + 2cos x

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