(1,0 ponto) Encontre uma transformação linear tal que a imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e . Em seguida, encontre o núcleo desta transformação.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear tal que
e, em seguida, que a gente ache . Para isso usamos que, numa base canônica, a imagem de é o espaço gerado pelas colunas da matriz de , e o núcleo é o conjunto de soluções de .
Passo 2
Escolhemos como matriz de aquela cujas duas primeiras colunas são exatamente os vetores geradores e a terceira é zero. Assim,
e definimos
Passo 3
Como a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, temos
Im(T) =spanl(1,0,-1),,(1,2,2)r,
que é exatamente o subespaço pedido.
Passo 4
Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=0 ;Long<=ftrightarrow; x10-1 + y122 =000
Isso gera o sistema
x + y = 0, 2y = 0, -,x +2y = 0,
da segunda equação vem y=0, daí x=0 e z fica livre. Logo