(1,0 ponto) Encontre uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que a imagem de T é o subespaço de R^3 gerado pelos vetores (1,0,-1) e (1,2,2). Em seguida, encontre o núcleo desta transformação.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^3 tal que
Im(T)=span(1,0,-1),(1,2,2)
e, em seguida, que a gente ache ker(T). Para isso usamos que, numa base canônica, a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas da matriz de T, e o núcleo é o conjunto de soluções de T(x,y,z)=0.

Passo 2

Escolhemos como matriz de aquela cujas duas primeiras colunas são exatamente os vetores geradores e a terceira é zero. Assim,
e definimos

Passo 3

Como a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, temos
Im(T) =spanl(1,0,-1),,(1,2,2)r,
que é exatamente o subespaço pedido.

Passo 4

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=0 ;Long<=ftrightarrow; x10-1 + y122 =000
Isso gera o sistema
x + y = 0, 2y = 0, -,x +2y = 0,
da segunda equação vem y=0, daí x=0 e z fica livre. Logo
ker(T) =(0,0,z)mid zinR =span(0,0,1)

Resposta

Definindo
T(x,y,z) = (x+y,;2y,;-x+2y),
temos
Im(T)=span(1,0,-1),(1,2,2), ker(T)=span(0,0,1)

Exercícios relacionados