Determine o comprimento do arco especificado em cada curva dada.
(y-1)^2=(x+1)^3, 0 <= x <= 1;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva definida implicitamente por
(y-1)^2 = (x+1)^3, 0 <= x <= 1
O conteúdo é comprimento de arco de uma curva dada por y(x), usando a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx
Para isso vamos:
  1. encontrar y'(x) por diferenciação implícita,
  2. escolher o ramo adequado de y,
  3. montar o integrando raiz1+(y')^2,
  4. calcular a integral de x=0 a x=1.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
(y-1)^2 = (x+1)^3
temos
2(y-1),y' = 3(x+1)^2 Longrightarrow y' = 3(x+1)^22(y-1)
Do enunciado, para 0<= x<=1 temos x+1>=1, logo escolhemos o ramo superior
y-1 = (x+1)^3/2
e, substituindo em y', obtemos
y' = 3(x+1)^22(x+1)^3/2 = 32,(x+1)^1/2

Passo 3

O integrando de comprimento de arco é
raiz1 + l(y'(x)r)^2 = raiz1 + l(tfrac32(x+1)^1/2r)^2 = raiz1 + tfrac94(x+1) = raiz9x+134 = raiz9x+132

Passo 4

Portanto
L = integral0^1 raiz9x+132,dx = 12integral0^1raiz9x+13,dx
Fazendo a mudança u=9x+13, du=9,dx, ou usando fórmula direta
integral raiz9x+13,dx = 23cdot9(9x+13)^3/2 = 227(9x+13)^3/2,
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L = 12,227l[(9x+13)^3/2r]0^1 = 127l[(22)^3/2 - (13)^3/2r]
Como (22)^3/2=22raiz22 e (13)^3/2=13raiz13, resulta

Resposta

L = 22raiz22 ;-; 13raiz1327

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