(1,0 ponto) Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita com um produto interno
,
uma base ortonormal de
. Seja
um operador linear sobre
e
a matriz de
em relação à base
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial finito
com produto interno
e uma base ortonormal
. Temos um operador linear
e sua matriz em relação a
é
. Queremos mostrar que cada entrada
coincide com o produto interno de
com
, ou seja,
Passo 2
Pela definição de matriz de
em relação à base
, cada vetor imagem
se escreve como combinação linear dos vetores da base:
Como a base é ortonormal, temos
. Usando a bilinearidade do produto interno,