(1,0 ponto) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com um produto interno lang<=, rang<= e beta=v1, ldots, vn uma base ortonormal de V. Seja T um operador linear sobre V e A=(ai j) a matriz de T em relação à base beta. Mostre que ai j=lang<= T(vj), virang<=.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial finito V com produto interno lang<=,,rang<= e uma base ortonormal beta=v1,dots,vn. Temos um operador linear Tcolon Vto V e sua matriz em relação a beta é A=(aij). Queremos mostrar que cada entrada aij coincide com o produto interno de T(vj) com vi, ou seja,
aij=lang<= T(vj),,virang<=

Passo 2

Pela definição de matriz de T em relação à base beta, cada vetor imagem T(vj) se escreve como combinação linear dos vetores da base:
T(vj)=sumk=1^nakj,vk
Como a base é ortonormal, temos lang<= vk,virang<==de<aki. Usando a bilinearidade do produto interno,
lang<= T(vj),,virang<= =lang<= sumk=1^nakj,vk,,virang<= =sumk=1^nakj,lang<= vk,virang<= =sumk=1^nakj,de<aki =aij

Resposta

aij=lang<= T(vj),,virang<=

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