8.4B Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a área da região interna à curva em coordenadas polares
O conteúdo principal aqui é a fórmula da área em coordenadas polares:
Como a curva é fechada e periódica em
, vamos usar esses limites.
Passo 2
Escrevemos o integral da área substituindo
:
Fatorando
:
Passo 3
Expandimos o quadrado dentro do integrando:
Passo 4
Usamos a identidade
para simplificar:
Passo 5
Integramos termo a termo de
a
:
Logo
Passo 6
Voltando à área: