8.4B Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(b) r=a(2-cos theta)

Passo 1

O enunciado pede a área da região interna à curva em coordenadas polares
r = al(2 - costhetar)
O conteúdo principal aqui é a fórmula da área em coordenadas polares:
A = tfrac12 integraltheta1^theta2 r^2,dtheta
Como a curva é fechada e periódica em 0<=theta<=2pi, vamos usar esses limites.

Passo 2

Escrevemos o integral da área substituindo r:
A = tfrac12 integral0^2pi l[al(2 - costhetar)r]^2 dtheta
Fatorando a^2:
A = tfraca^22 integral0^2pi l(2 - costhetar)^2 dtheta

Passo 3

Expandimos o quadrado dentro do integrando:
(2 - costheta)^2 = 4 - 4costheta + cos^2theta

Passo 4

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac12(1 + cos2theta) para simplificar:
4 - 4costheta + cos^2theta = 4 - 4costheta + tfrac12l(1 + cos2thetar) = tfrac92 - 4costheta + tfrac12cos2theta

Passo 5

Integramos termo a termo de 0 a 2pi:
integral0^2pi!tfrac92,dtheta = tfrac92cdot2pi = 9pi, integral0^2pi!-4costheta,dtheta = 0, integral0^2pi!tfrac12cos2theta,dtheta = 0
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integral0^2pi (2 - costheta)^2 dtheta = 9pi

Passo 6

Voltando à área:
A = tfraca^22cdot 9pi = tfrac92,pi a^2

Resposta

A = 92,pi a^2

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