Determine a solução geral das seguintes equações lineares de segunda ordem não-homogêneas:
y^prime prime+9 y=9 sec ^2(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9,y = 9,sec^2(3x)
O conteúdo é equações lineares de 2ª ordem: a solução geral é
y(x)=yc(x)+yp(x),
onde yc é a solução da homogênea y''+9y=0 e yp é uma particular. Como o termo não-homogêneo é sec^2(3x), usamos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Encontrar a solução complementar yc. A equação característica é
r^2+9=0Longrightarrow r=pm3,i,
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yc(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x)

Passo 3

Aplicar variação de parâmetros com
y1=cos(3x), y2=sin(3x), g(x)=9,sec^2(3x)
O Wronskiano é
W = cos(3x) & sin(3x) -3sin(3x) & 3cos(3x) =3l(cos^2(3x)+sin^2(3x)r)=3
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-y2,gW, u2'=y1,gW,
e a particular é
yp = u1,y1 + u2,y2,
onde
u1(x) = -integral sin(3x),9sec^2(3x)3,dx, u2(x) = integral cos(3x),9sec^2(3x)3,dx

Passo 4

Calcular as integrais:
u1(x) = -3integral sin(3x)cos^2(3x),dx =-3integral sec(3x)tan(3x),dx =-3cdotsec(3x)3 =-sec(3x),
u2(x) = 3integral 1cos(3x),dx =3integral sec(3x),dx =3cdot13lnl|sec(3x)+tan(3x)r| =lnl|sec(3x)+tan(3x)r|
Assim
yp = u1,cos(3x)+u2,sin(3x) =-sec(3x)cos(3x) +sin(3x),lnl|sec(3x)+tan(3x)r| =-1+sin(3x),lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

Resposta

boxedy(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x);-;1;+;sin(3x),lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

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