8.4B Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede a área da região no plano delimitada pela curva em coordenadas polares
O conteúdo aqui é “área em coordenadas polares”, e vamos usar a fórmula
Precisamos determinar os limites de integração que descrevem toda a região uma única vez.
Passo 2
Observamos que
é não-negativo se, e somente se,
, ou seja
Nesses limites, a curva fecha um círculo completo de raio
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da área em coordenadas polares com
e
de
a
, obtemos
Passo 4
Para calcular
, usamos a identidade
logo
Passo 5
Substituindo esse resultado em
, vem