8.4B Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(c) r=2 a sen theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano delimitada pela curva em coordenadas polares
r = 2asintheta
O conteúdo aqui é “área em coordenadas polares”, e vamos usar a fórmula
A = 12integraltheta1^theta2 r^2,dtheta
Precisamos determinar os limites de integração que descrevem toda a região uma única vez.

Passo 2

Observamos que r=2asintheta é não-negativo se, e somente se, sintheta>=0, ou seja
thetain[0,pi]
Nesses limites, a curva fecha um círculo completo de raio a.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área em coordenadas polares com r=2asintheta e theta de 0 a pi, obtemos
A = 12integral0^pi l(2asinthetar)^2,dtheta = 12cdot4a^2integral0^pisin^2theta,dtheta =2a^2integral0^pisin^2theta,dtheta

Passo 4

Para calcular integral0^pisin^2theta,dtheta, usamos a identidade
sin^2theta = 1-cos(2theta)2,
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integral0^pisin^2theta,dtheta =integral0^pi1-cos(2theta)2,dtheta =12l[theta - tfrac12sin(2theta)r]0^pi =12l(pi - 0r) =pi2

Passo 5

Substituindo esse resultado em A=2a^2integral0^pisin^2theta,dtheta, vem
A = 2a^2cdotpi2 = pi a^2

Resposta

A = pi a^2

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