8.4B Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(e) r^2=1-cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região interna à curva dada em coordenadas polares por
r^2=1-costheta
O conteúdo aqui é uso da fórmula de área em coordenadas polares:
A=12integral r^2,dtheta

Passo 2

Como temos r^2=1-costheta, basta usar essa expressão no integrando da área polar.

Passo 3

Precisamos determinar em que intervalo de theta a curva é fechada e é percorrida exatamente uma vez. Note que
r^2=1-costheta>=0
para todo theta, e que r=0 apenas em theta=0 e theta=2pi. Logo, a curva fecha e é percorrida uma vez ao fazermos theta variar de 0 a 2pi. Portanto
A=12integral0^2pi(1-costheta),dtheta

Passo 4

Calcule o integral:
integral0^2pi(1-costheta),dtheta =integral0^2pi1,dtheta-integral0^2picostheta,dtheta =(2pi)-l[sinthetar]0^2pi =2pi-0 =2pi

Passo 5

Aplicando o fator tfrac12:
A=12cdot 2pi=pi

Resposta

A área da região interna à curva é pi.

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