8.4B Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(f) r^2=2 a^2 cos ^2(theta / 2)

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pela curva dada em coordenadas polares por
r^2=2a^2cos^2!l(tfractheta2r)
O conteúdo usado aqui é o cálculo de áreas em coordenadas polares, onde a fórmula geral é
A = tfrac12 integraltheta1^theta2 r^2,dtheta

Passo 2

Da equação r^2=2a^2cos^2(theta/2) obtemos
r = raiz2,a;l|cos(tfractheta2)r|
Para que r>=0 e a curva seja fechada sem sobreposição, escolhemos o ramo cos(tfractheta2)>=0, ou seja
-pi<=theta<=pi

Passo 3

Aplicamos a fórmula da área em polares:
A = 12 integral-pi^pi r^2,dtheta = 12 integral-pi^pi 2a^2cos^2!l(tfractheta2r),dtheta = a^2integral-pi^picos^2!l(tfractheta2r),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de meio ângulo
cos^2!l(tfractheta2r) =1+costheta2,
então
A = a^2integral-pi^pi1+costheta2,dtheta = a^22l[integral-pi^pi1,dtheta + integral-pi^picostheta,dthetar]

Passo 5

Calculando as integrais:
integral-pi^pi1,dtheta = 2pi, integral-pi^picostheta,dtheta = 0
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A = a^22,(2pi + 0) = pi,a^2

Resposta

pi a^2

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