Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral tg^2(6 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral tan^2(6x),dx
O conteúdo é integração de função trigonométrica usando a identidade de redução de grau tan^2u = sec^2u - 1 e, em seguida, substituição simples em uma das parcelas.

Passo 2

Usamos a identidade
tan^2(6x) = sec^2(6x) - 1
para reescrever a integral como
integral tan^2(6x),dx = integrall(sec^2(6x) - 1r),dx

Passo 3

Separamos em duas integrais:
integralsec^2(6x),dx ;-; integral 1,dx

Passo 4

Para integralsec^2(6x),dx, fazemos u = 6x, logo du = 6,dx e dx = tfrac16du. Assim,
integralsec^2(6x),dx = integral sec^2(u),16du = 16tan(u) = 16tan(6x)

Passo 5

A outra integral é imediata:
integral 1,dx = x
Portanto, somando e incluindo a constante de integração C, obtemos o resultado final.

Resposta

16tan(6x) - x + C

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