1. Descrever a ligação existente entre somas, partições do intervalo [a, b], limites de seqüências e a fórmula com integral que permite calcular o comprimento de arco de uma curva y=f(x) onde f:[a, b] R é uma função contínua.

Passo 1

O enunciado quer mostrar como o comprimento de arco de uma curva y=f(x) em [a,b] pode ser obtido como limite de certas somas que vêm de partições do intervalo. O conteúdo envolve:
  • Definir uma partição de [a,b].
  • Construir uma soma de comprimentos de segmentos (poligonal aproximante).
  • Usar limites de sequências (refinamento da partição).
  • Aplicar o Teorema do Valor Médio para ligar essa soma a uma soma de Riemann.
  • Reconhecer o limite dessa soma de Riemann como uma integral.

Passo 2

Definimos uma partição P de [a,b] como um conjunto finito de pontos
P: a = x0 < x1 < x2 < cdots < xn = b,
e escrevemos De<a xi = xi - xi-1 e De<a yi = f(xi) - f(xi-1). A aproximação poligonal do arco é a soma dos comprimentos dos segmentos que ligam l(xi-1,f(xi-1)r) a l(xi,f(xi)r):
S(P) ;=; sumi=1^n raiz(De<a xi)^2 + (De<a yi)^2

Passo 3

Supondo f diferenciável (pelo menos em cada [xi-1,xi]), o Teorema do Valor Médio garante que existe xiiin[xi-1,xi] tal que
De<a yi = f(xi) - f(xi-1) = f'(xii),De<a xi
Logo,
raiz(De<a xi)^2 + (De<a yi)^2 = raiz(De<a xi)^2 + l(f'(xii),De<a xir)^2 = raiz1 + l(f'(xii)r)^2;De<a xi

Passo 4

Substituindo na soma S(P), obtemos
S(P) = sumi=1^n raiz1 + l(f'(xii)r)^2;De<a xi
Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função g(x)=raiz1+[f'(x)]^2 no intervalo [a,b].

Passo 5

Quando refinamos a partição P, isto é, tomamos |P|=maxiDe<a xito0, a sequência de somas S(P) converge (se g for contínua) para a integral de Riemann de g:
lim|P|to0 S(P) = lim|P|to0 sumi=1^n g(xii),De<a xi = integrala^b g(x),dx

Passo 6

Substituindo g(x)=raiz1+[f'(x)]^2, concluímos que o comprimento de arco da curva y=f(x) em [a,b] é
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Resposta

O comprimento de arco de y=f(x) em [a,b] é dado pela fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx,
obtida como limite, quando o diâmetro da partição tende a zero, das somas
sumi=1^n raiz(De<a xi)^2 + (De<a yi)^2

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