- Descrever a ligação existente entre somas, partições do intervalo
, limites de seqüências e a fórmula com integral que permite calcular o comprimento de arco de uma curva
onde
é uma função contínua.
Passo 1
O enunciado quer mostrar como o comprimento de arco de uma curva
em
pode ser obtido como limite de certas somas que vêm de partições do intervalo. O conteúdo envolve:
- Definir uma partição de
. - Construir uma soma de comprimentos de segmentos (poligonal aproximante).
- Usar limites de sequências (refinamento da partição).
- Aplicar o Teorema do Valor Médio para ligar essa soma a uma soma de Riemann.
- Reconhecer o limite dessa soma de Riemann como uma integral.
Passo 2
Definimos uma partição
de
como um conjunto finito de pontos
e escrevemos
e
. A aproximação poligonal do arco é a soma dos comprimentos dos segmentos que ligam
a
:
Passo 3
Supondo
diferenciável (pelo menos em cada
), o Teorema do Valor Médio garante que existe
tal que
Logo,
Passo 4
Substituindo na soma
, obtemos
Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função
no intervalo
.
Passo 5
Quando refinamos a partição
, isto é, tomamos
, a sequência de somas
converge (se
for contínua) para a integral de Riemann de
:
Passo 6
Substituindo
, concluímos que o comprimento de arco da curva
em
é
Resposta
O comprimento de arco de
em
é dado pela fórmula
obtida como limite, quando o diâmetro da partição tende a zero, das somas