Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral sen^2(9 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin^2(9x),dx
O conteúdo necessário é usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo para transformar sin^2 em termos de cosseno e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
com theta = 9x. Assim,
sin^2(9x) = 1 - cos(18x)2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral sin^2(9x),dx = integral 1 - cos(18x)2,dx = 12integral 1,dx ;-;12integral cos(18x),dx

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
  1. 12integral 1,dx = x2
  2. Para integral cos(18x),dx, usamos a regra de potência interna:
    integral cos(18x),dx = sin(18x)18
    Logo,
    -12integral cos(18x),dx = -12cdotsin(18x)18 = -sin(18x)36
Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos a primitiva completa.

Resposta

integral sin^2(9x),dx = x2 ;-;sin(18x)36 + C

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