5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
(x^2+1) d x+(y^2+y) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = x^2 + 1, N(x,y) = y^2 + y
O conteúdo é o de equações exatas e integração formal: vamos verificar se a forma é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial cuja diferencial coincide com M,dx+N,dy.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
Como , a forma é exata em todo .

Passo 3

Por exatidão existe Phi(x,y) tal que
dPhi = M,dx + N,dy
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y) = integral (x^2+1),dx = x^33 + x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial Phipartial y = h'(y) stackrel!= N(x,y) = y^2+y
Logo
h'(y)=y^2+y Longrightarrow h(y)=integral(y^2+y),dy =y^33+y^22+C1

Passo 5

Reunindo tudo, a solução geral implícita é
com constante arbitrária. Como e são polinômios contínuos e a forma é exata em , essa relação está definida em todo plano (ou em qualquer domínio simplesmente conexo de ).

Resposta

definida para todo .

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