5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
com
O conteúdo é o de equações exatas e integração formal: vamos verificar se a forma é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial cuja diferencial coincide com
.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando
Como
, a forma é exata em todo .
Passo 3
Por exatidão existe
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
Logo
Passo 5
Reunindo tudo, a solução geral implícita é
com
constante arbitrária. Como
e
são polinômios contínuos e a forma é exata em , essa relação está definida em todo plano (ou em qualquer domínio simplesmente conexo de ).
Resposta
definida para todo .