(a) Calcule os coeficientes angulares das retas tangentes às curvas e , no ponto de interseção dos gráficos destas curvas. Qual o ângulo entre estas retas?
(b) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 1
O enunciado pede em (a) os coeficientes angulares das retas tangentes às curvas e no ponto onde os gráficos se interceptam, e o ângulo entre essas retas. Para isso vamos usar derivadas para obter os coeficientes angulares e a fórmula do ângulo entre duas retas de coeficientes e :
Em (b) basta enunciar o Teorema do Valor Intermediário, que envolve continuidade de funções em intervalo fechado.
Passo 2
Encontremos o ponto de interseção resolvendo
1x = x^2, xneq0
Multiplicando por x obtemos
1 = x^3,
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x = 1
Substituindo em qualquer curva dá y = 1. O ponto de interseção é (1,1).
Passo 3
Calculamos as derivadas para achar os coeficientes angulares das tangentes:
Teorema do Valor Intermediário. Seja f uma função contínua em [a,b]. Se L é um valor tal que
minf(a),f(b) <= L <= maxf(a),f(b),
então existe cin(a,b) com
f(c) = L
Resposta
(a) Os coeficientes angulares são mf=-1 e mg=2, e o ângulo entre as tangentes vale theta=arctan(3)approx71,6^circ.
(b) Se f é contínua em [a,b] e L está entre f(a) e f(b), então existe cin(a,b) tal que f(c)=L.