1. (a) Calcule os coeficientes angulares das retas tangentes às curvas f(x)=1x e g(x)=x^2, no ponto de interseção dos gráficos destas curvas. Qual o ângulo entre estas retas?
    (b) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 1

O enunciado pede em (a) os coeficientes angulares das retas tangentes às curvas f(x)=tfrac1x e g(x)=x^2 no ponto onde os gráficos se interceptam, e o ângulo entre essas retas. Para isso vamos usar derivadas para obter os coeficientes angulares e a fórmula do ângulo entre duas retas de coeficientes m1 e m2:
tantheta = |m2 - m11 + m1 m2|
Em (b) basta enunciar o Teorema do Valor Intermediário, que envolve continuidade de funções em intervalo fechado.

Passo 2

Encontremos o ponto de interseção resolvendo
1x = x^2, xneq0
Multiplicando por x obtemos
1 = x^3,
logo
x = 1
Substituindo em qualquer curva dá y = 1. O ponto de interseção é (1,1).

Passo 3

Calculamos as derivadas para achar os coeficientes angulares das tangentes:
f'(x) = -1x^2 e g'(x) = 2x
Em x=1 isso vale
mf = f'(1) = -1, mg = g'(1) = 2

Passo 4

Aplicamos a fórmula do ângulo entre retas:
tantheta = |mg - mf1 + mf mg| = |2 - (-1)1 + (-1)cdot 2| = |31 - 2| = 3
Logo
theta = arctan(3)approx 71,6^circ

Passo 5

Teorema do Valor Intermediário. Seja f uma função contínua em [a,b]. Se L é um valor tal que
minf(a),f(b) <= L <= maxf(a),f(b),
então existe cin(a,b) com
f(c) = L

Resposta

(a) Os coeficientes angulares são mf=-1 e mg=2, e o ângulo entre as tangentes vale theta=arctan(3)approx71,6^circ.
(b) Se f é contínua em [a,b] e L está entre f(a) e f(b), então existe cin(a,b) tal que f(c)=L.

Exercícios relacionados