Exercício 26. Diagonalize as forma quadráticas, decidindo em cada caso se são positivas, negativas ou indefinidas:
(a) .
Identifique, quando existirem, os pontos de máximo, mínimo ou sela destas formas.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
isto é, encontrar uma mudança de variáveis ortogonal que leve a uma soma de quadrados com coeficientes (autovalores). Depois disso, comparamos os sinais desses coeficientes para decidir se é positiva, negativa ou indefinida e, por fim, identificamos se há ponto de máximo, mínimo ou sela.
Os coeficientes são de sinais opostos (tfrac52>0, -tfrac12<0), logo Q é indefinida. Como função de (x,y), o único ponto crítico é a origem, que, num caso indefinido, é ponto de sela.
Resposta
A forma diagonaliza-se para
Q=tfrac52,u^2-tfrac12,v^2,
é indefinida e apresenta um ponto de sela na origem.