Exercício 26. Diagonalize as forma quadráticas, decidindo em cada caso se são positivas, negativas ou indefinidas:
(a) Q(x, y)=x^2-3 x y+y^2.
Identifique, quando existirem, os pontos de máximo, mínimo ou sela destas formas.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
Q(x,y)=x^2-3xy+y^2,
isto é, encontrar uma mudança de variáveis ortogonal que leve Q a uma soma de quadrados com coeficientes (autovalores). Depois disso, comparamos os sinais desses coeficientes para decidir se Q é positiva, negativa ou indefinida e, por fim, identificamos se há ponto de máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Escrevemos na forma matricial
onde
Para diagonalizar, achamos os autovalores de .
]

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =(1-lambda)^2-l(-tfrac32r)^2 =lambda^2-2lambda-tfrac54
As raízes são
lambda =2pmraiz4+52 =2pm32 Rightarrow lambda1=tfrac52,; lambda2=-tfrac12

Passo 4

Agora achamos autovetores:
Para lambda1=tfrac52, resolve-se
(A-tfrac52I)v=0 ;Longrightarrow; -tfrac32 & -tfrac32[3pt]-tfrac32 & -tfrac32 v=0,
que dá vpropto(1,-1). Normalizando, tomamos
u=1raiz21-1
Para lambda2=-tfrac12,
(A+tfrac12I)v=0 ;Longrightarrow; tfrac32 & -tfrac32[3pt]-tfrac32 & tfrac32 v=0,
leva a vpropto(1,1) e, normalizando,
v=1raiz211
Em coordenadas (u,v) ortonormais, a forma fica
Q=tfrac52,u^2-tfrac12,v^2
]

Passo 5

Os coeficientes são de sinais opostos ( tfrac52>0, -tfrac12<0), logo Q é indefinida. Como função de (x,y), o único ponto crítico é a origem, que, num caso indefinido, é ponto de sela.

Resposta

A forma diagonaliza-se para
Q=tfrac52,u^2-tfrac12,v^2,
é indefinida e apresenta um ponto de sela na origem.

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