(2,5) Seja f(x)=arcsen(a-ln x), a in R.
(a) Determine o domínio de f.
Para que arcsen(a-ln x) esteja bem definida em x devemos ter
-1 & <= a-ln x <= 1 -1-a & <=-ln x <= 1-a a+1 & >= ln x >= a-1 a-1 & <= ln x <= a+1 e^a-1 & <= x <= e^a+1
Além disso, é necessário que x>0 que é uma condição já está atendida, pois e^a-1>0. Portanto o domínio de f é o intervalo [e^a-1, e^a+1].
(b) Determine f^-1(y) para y in[-pi / 2, pi / 2].
arcsen(a-ln x) & =y a-ln x & =sen y ln x & =a-sen y x & =e^a-sen y
Logo f^-1(y)=e^a-sen y

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=arcsenl(a-ln xr), ainR,
e pede:
(a) o domínio de f;
(b) a inversa f^-1(y) para yin[-tfracpi2,tfracpi2].
Para isso vamos usar (i) a condição de existência do ln x, (ii) o fato de arcsen(u) exigir -1<= u<=1, e (iii) a resolução de desigualdades e a inversão de funções elementares.

Passo 2

Como ln x só existe para x>0 e arcsen(u) é definida apenas se
-1 ;<=;u;<=;1,
no nosso caso devemos ter
-1 ;<=;a-ln x;<=;1

Passo 3

Resolvendo
-1 ;<=;a-ln x;<=;1
fazemos, em cada parte, a subtração de a e depois multiplicamos por -1 (invertendo as desigualdades):
-1 - a ;<=;-,ln x;<=;1 - a ;;Longrightarrow;; a+1 ;>=;ln x;>=;a-1
Logo
a-1 ;<=;ln x;<=;a+1

Passo 4

Aplicando exponencial em cada desigualdade, como e^t é crescente, obtemos
e^,a-1;<=;x;<=;e^,a+1
E note que e^,a-1>0, portanto a condição x>0 já está contemplada.
Assim o domínio de f é
l[e^,a-1,,e^,a+1r]

Passo 5

Para encontrar f^-1, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y=arcsenl(a-ln xr) ;Longrightarrow; sin y = a - ln x ;Longrightarrow; ln x = a - sin y ;Longrightarrow; x = e^,a-sin y
Como y vem da imagem de arcsen, temos yin[-tfracpi2,tfracpi2].

Resposta

(a) Dom,f=l[e^,a-1,,e^,a+1r]
(b) f^-1(y)=e^,a-sin y, yinl[-tfracpi2,tfracpi2r]

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