5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
(2 x-1) cos ^4 y d x+(x^2-2 x+2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x-1)cos^4y,dx + (x^2-2x+2),dy = 0
e pede solução por integração formal. Observamos que é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos isolar todos os y num lado e todos os x no outro.

Passo 2

Para separar, dividimos ambos os lados por cos^4y,(x^2-2x+2), obtendo
dycos^4y ;=; -,2x-1x^2-2x+2,dx

Passo 3

Integramos o lado em y. Usando u=tan y, temos du=sec^2y,dy e sec^4y=sec^2ycdotsec^2y, logo
integral dycos^4y =integral sec^4y,dy =integral (1+u^2),du = u + u^33 =tan y + tan^3y3

Passo 4

Agora integramos o lado em x. Escrevemos
-2x-1x^2-2x+2 =-2x-2x^2-2x+2;-;1x^2-2x+2
A primeira parcela dá
-integral 2x-2x^2-2x+2,dx =-integral d(x^2-2x+2)x^2-2x+2 =-lnl(x^2-2x+2r),
e a segunda, completando o quadrado x^2-2x+2=(x-1)^2+1, dá
-integral dx(x-1)^2+1 =-arctan(x-1)

Passo 5

Igualando as duas integrais e juntando constantes, obtemos a solução implícita
tan y + tan^3y3 +lnl(x^2-2x+2r) +arctan(x-1) =C

Passo 6

A solução está definida para todo xinR (pois x^2-2x+2>0 sempre) e para y tal que cos yneq 0, i.e.\ yneq pi2+kpi, kinZ.

Resposta

tan y + tan^3y3 +lnl(x^2-2x+2r) +arctan(x-1) =C,
definida para xinR e yneq tfracpi2+kpi.

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