Determine:
são constantes positivas.
)
são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
são constantes. Vamos usar a regra de L’Hôpital, já que, ao substituir
, obtemos a forma indeterminada
.
Passo 2
Verificamos a indeterminação:
Quando ,
e
,
logo o numerador tende a , e o denominador
.
Temos, portanto, .
Quando
logo o numerador tende a
Temos, portanto,
Passo 3
Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador em relação a
:
derivada de é
,
derivada de é
,
e derivada de é
.
Assim,
derivada de
derivada de
e derivada de
Assim,
Passo 4
Ainda temos
(ambas as funções
tendem a zero). Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto,
Passo 5
Agora substituímos
:
e
,
logo o numerador fica .
Assim,
logo o numerador fica
Assim,