Determine:
são constantes positivas.
)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0cos!(tfracxm)-cos(nx)x^2,
onde m>0 e n>0 são constantes. Vamos usar a regra de L’Hôpital, já que, ao substituir x=0, obtemos a forma indeterminada tfrac00.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
Quando xto0,
cos!l(tfracxmr)tocos0=1 e cos(nx)tocos0=1,
logo o numerador tende a 1-1=0, e o denominador x^2to0.
Temos, portanto, tfrac00.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada de cos!(tfracxm) é -tfrac1msin!(tfracxm),
derivada de cos(nx) é -nsin(nx),
e derivada de x^2 é 2x.
Assim,
limxto0cos!(tfracxm)-cos(nx)x^2 =limxto0-tfrac1msin!(tfracxm)+nsin(nx)2x

Passo 4

Ainda temos tfrac00 (ambas as funções sin tendem a zero). Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez:
  • derivada de -tfrac1msin!(tfracxm) é -tfrac1mcdottfrac1mcos!(tfracxm)=-tfrac1m^2cos!(tfracxm),
  • derivada de nsin(nx) é ncdot ncos(nx)=n^2cos(nx),
  • derivada de 2x é 2.
    Portanto,
limxto0-tfrac1msin!(tfracxm)+nsin(nx)2x =limxto0-tfrac1m^2cos!(tfracxm)+n^2cos(nx)2

Passo 5

Agora substituímos x=0:
cos!l(tfrac0mr)=1 e cos(0)=1,
logo o numerador fica -tfrac1m^2+n^2.
Assim,
limxto0dots =-tfrac1m^2+n^22 =n^2 - tfrac1m^22 =n^2m^2-12,m^2

Resposta

limxto0cos!l(tfracxmr)-cos(nx)x^2 =n^2m^2-12,m^2

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