Determine:
a equação da reta tangente à curva y^x=x^2 y+1 no ponto de ordenada 1
Aplicando logaritmos e derivando implicitamente na variável x
(x ln y)^prime & =((2 y+1) ln x)^prime 1 ln y+x y^primey & =2 y^prime ln x+(2 y+1) 1x y^prime(xy-2 ln x) & =2 y+1x-ln y y^prime & =2 y+1x-ln yxy-2 ln x
Para y=1, temos 1=x^3, x=1 e y^prime=3, donde y-1=3(x-1) é uma equação da reta tangente pretendida.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva definida implicitamente por
y^x = x^2y+1
no ponto em que a ordenada vale 1. O conteúdo que usamos é diferenciação implícita combinada com logaritmos (log-diff).

Passo 2

Para achar o ponto, impomos ,y=1 na equação
1^x = x^2cdot1+1
ou seja
1 = x^3
logo x=1. O ponto de tangência é ,(1,1).

Passo 3

Tomamos logaritmo natural dos dois lados de
y^x = x^2y+1
ficando
lnl(y^xr) = lnl(x^2y+1r)
e, pelas propriedades de ln,
xln y = (2y+1)ln x

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y=y(x):
Lado esquerdo:
ddxl(xln yr) = 1cdotln y + xcdoty'y
Lado direito:
ddxl((2y+1)ln xr) = 2y'ln x + (2y+1)1x

Passo 5

Igualando as duas expressões e isolando y':
ln y + x,y'y = 2y'ln x + 2y+1x
x,y'y - 2y'ln x = 2y+1x - ln y
y'l(xy - 2ln xr) = 2y+1x - ln y
y' = 2y+1x - ln y xy - 2ln x

Passo 6

Avalia-mos y' em (x,y)=(1,1):
numerador = 2cdot1+11 - ln1 = 3 - 0 = 3, denominador = 11 - 2ln1 = 1 - 0 = 1
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y'(1,1) = 3

Passo 7

A reta tangente em (1,1) é
y - y0 = y'(x0),(x - x0)
com x0=1, y0=1 e inclinação 3, resultando em
y - 1 = 3,(x - 1)

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 1 = 3(x - 1)

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