Mostre que a função
tem um ponto de inflexão de
, mas
não existe.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem ponto de inflexão em
— isto é, a concavidade muda de um lado para o outro de
— mas que, ao mesmo tempo, a derivada segunda
não existe. Vamos usar a definição de ponto de inflexão via mudança de sinal de
para
, calcular
e
de forma a evidenciar essa troca de concavidade e, por fim, verificar que
não está definida.
Passo 2
Escrevemos
de forma piecewise para calcular as derivadas com facilidade:
Para ,
, então
Para
Para
,
, então
Passo 3
Calculamos a derivada primeira em cada ramo e em
:
Para ,
Para
Para
,
Em
, usamos o limite do coeficiente angular:
Como
, a derivada existe e vale
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para
:
Para ,
Para
ou seja,
é côncava para baixo à esquerda de
.
Para ,
Para
ou seja,
é côncava para cima à direita de
.
Como a concavidade muda de negativa (para ) para positiva (para
),
é ponto de inflexão e o ponto correspondente na curva é
.
Como a concavidade muda de negativa (para
Passo 5
Verificamos agora a existência de
pela definição:
Para
,
dá
e para
,
dá
Como os limites laterais são diferentes,
não existe.
Resposta
A função tem ponto de inflexão em
pois a concavidade muda de negativa para positiva em
, mas
não existe porque os limites laterais de
são
e
.