Mostre que a função f(x)=x|x| tem um ponto de inflexão de (0,0), mas f^prime prime(0) não existe.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x|x|
tem ponto de inflexão em (0,0) — isto é, a concavidade muda de um lado para o outro de x=0 — mas que, ao mesmo tempo, a derivada segunda f''(0) não existe. Vamos usar a definição de ponto de inflexão via mudança de sinal de f''(x) para xneq0, calcular f' e f'' de forma a evidenciar essa troca de concavidade e, por fim, verificar que f''(0) não está definida.

Passo 2

Escrevemos f de forma piecewise para calcular as derivadas com facilidade:
Para x<0, lvert xrvert=-x, então
f(x)=x|x|=-,x^2
Para x>=0, lvert xrvert=x, então
f(x)=x|x|=x^2

Passo 3

Calculamos a derivada primeira em cada ramo e em 0:
Para x<0,
f'(x)=ddx(-x^2)=-2x
Para x>0,
f'(x)=ddx(x^2)=2x
Em x=0, usamos o limite do coeficiente angular:
f'(0^-)=limxto0^-f(x)-f(0)x-0 =limxto0^--x^2-0x=-,limxto0^-x=0,
f'(0^+)=limxto0^+x^2-0x=limxto0^+x=0
Como f'(0^-)=f'(0^+)=0, a derivada existe e vale
f'(0)=0

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para xneq0:
Para x<0,
f''(x)=ddx(-2x)=-2<0,
ou seja, f é côncava para baixo à esquerda de 0.
Para x>0,
f''(x)=ddx(2x)=2>0,
ou seja, f é côncava para cima à direita de 0.
Como a concavidade muda de negativa (para x<0) para positiva (para x>0), x=0 é ponto de inflexão e o ponto correspondente na curva é (0,f(0))=(0,0).

Passo 5

Verificamos agora a existência de f''(0) pela definição:
f''(0)=limhto0f'(0+h)-f'(0)h =limhto0f'(h)h
Para h<0, f'(h)=-2h
limhto0^--2hh=-2,
e para h>0, f'(h)=2h
limhto0^+2hh=2
Como os limites laterais são diferentes, f''(0) não existe.

Resposta

A função tem ponto de inflexão em (0,0) pois a concavidade muda de negativa para positiva em x=0, mas f''(0) não existe porque os limites laterais de l(f'(h)-f'(0)r)/h são -2 e 2.

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