5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
que é um caso de forma exata (e também separável). Vamos resolver por integração formal encontrando uma função potencial
tal que
e então escrever a solução implícita
.
Passo 2
Escrevemos
Verificamos a exatidão comparando
Como
, a forma é exata em todo
.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em relação a
, obtemos
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
Integramos em relação a
:
Passo 5
Logo a função potencial geral é
e a solução implícita da equação diferencial é
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Como todos os termos são polinomiais, essa relação está bem definida para todo
. Se for preciso definir
em função de
, basta resolver
e a função real dada pela raiz cúbica existe em todo
.
Resposta
definida para todo
.