5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
x d x-y^2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
x,dx ;-; y^2,dy ;=;0
que é um caso de forma exata (e também separável). Vamos resolver por integração formal encontrando uma função potencial psi(x,y) tal que
dpsi = x,dx - y^2,dy,
e então escrever a solução implícita psi(x,y)=C.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 com M(x,y)=x, ;N(x,y)=-y^2
Verificamos a exatidão comparando
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a forma é exata em todo R^2.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) = x
Integrando em relação a x, obtemos
psi(x,y) = integral x,dx = x^22 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
partial psipartial y = ddyl(x^22 + h(y)r) = h'(y) = N(x,y) = -y^2
Integramos em relação a y:
h(y) = integral -y^2,dy = -y^33 + constante

Passo 5

Logo a função potencial geral é
psi(x,y) = x^22 ;-;y^33,
e a solução implícita da equação diferencial é
x^22 ;-;y^33 = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Como todos os termos são polinomiais, essa relação está bem definida para todo (x,y)inR^2. Se for preciso definir y em função de x, basta resolver
y^3 = 32,x^2 - 3C Longrightarrow y = raiz[,3;]32,x^2 - 3C,
e a função real dada pela raiz cúbica existe em todo R.

Resposta

boxedx^22 ;-;y^33 = C,
definida para todo (x,y)inR^2.

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