Calcule os seguintes limites:
(a) lim x 0^+(e^x+x)^1 / x;
(b) lim x infty(raizx^2+x+1-x).
2. (a) Mostre que a função f(x)=x|x| tem um ponto de inflexão de (0,0), mas f^prime prime(0) não existe.

Passo 1

O enunciado pede dois limites e depois um estudo de ponto de inflexão para a função f(x)=x|x|. O conteúdo envolve técnicas de limite exponencial (passo a), de conjugado em limite infinito (passo b) e análise de derivadas para classificar um ponto de inflexão (questão 2).

Passo 2

Calcular L=limxto0^+(e^x+x)^1/x. Como a expressão é da forma 1^infty, usamos o logaritmo:
ln L=limxto0^+lnl(e^x+xr)x
Esse quociente é 0/0, então aplicamos a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
ln L =limxto0^+dfracddxln(e^x+x)dfracddxx =limxto0^+e^x+1,e^x+x, =21=2
Logo, L=exp(2)=e^2.

Passo 3

Calcular M=limxtoinftyl(raizx^2+x+1-xr). Multiplicamos por conjugado:
raizx^2+x+1-x =l(raizx^2+x+1-xr)l(raizx^2+x+1+xr)raizx^2+x+1+x =x^2+x+1 - x^2raizx^2+x+1+x =x+1raizx^2+x+1+x
Dividindo numerador e denominador por x,
M=limxtoinfty1+1/xraiz1+1/x+1/x^2+1 =1+01+1=12

Passo 4

Analisar f(x)=x|x|. Observamos o trecho para x>0 e para x<0:
1. Se x>0, então |x|=x e f(x)=x^2.
Logo f'(x)=2x e f''(x)=2.
2. Se x<0, então |x|=-x e f(x)=-x^2.
Logo f'(x)=-2x e f''(x)=-2.
No ponto x=0, observamos limxto0^+f'(x)=0 e limxto0^-f'(x)=0, então f'(0)=0. Mas
limxto0^+f''(x)=2, limxto0^-f''(x)=-2,
logo f''(0) não existe.
Verificamos que a concavidade muda de côncava para baixo ( f''<0 quando x<0) para côncava para cima ( f''>0 quando x>0). Isso é exatamente o que caracteriza um ponto de inflexão em (0,0), mesmo sem f''(0) existir.

Resposta

(a) e^2
(b) tfrac12 2(a) A função tem ponto de inflexão em (0,0) e ,f''(0) não existe.

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