Calcule os seguintes limites:
(a)
;
(b)
.
2. (a) Mostre que a função
tem um ponto de inflexão de
, mas
não existe.
(a)
(b)
2. (a) Mostre que a função
Passo 1
O enunciado pede dois limites e depois um estudo de ponto de inflexão para a função
. O conteúdo envolve técnicas de limite exponencial (passo a), de conjugado em limite infinito (passo b) e análise de derivadas para classificar um ponto de inflexão (questão
).
Passo 2
Calcular
. Como a expressão é da forma
, usamos o logaritmo:
Esse quociente é
, então aplicamos a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
Logo,
.
Passo 3
Calcular
. Multiplicamos por conjugado:
Dividindo numerador e denominador por
,
Passo 4
Analisar
. Observamos o trecho para
e para
:
Logo
Logo
No ponto
, observamos
e
, então
. Mas
logo
não existe.
Verificamos que a concavidade muda de côncava para baixo ( quando
) para côncava para cima (
quando
). Isso é exatamente o que caracteriza um ponto de inflexão em
, mesmo sem
existir.
Verificamos que a concavidade muda de côncava para baixo (
Resposta
(a)
(b) (a) A função tem ponto de inflexão em
e
não existe.
(b)