Decida se a afirmação “uma função polinomial de grau 3 não pode ter três extremos locais (distintos)” é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, justifique, e, caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Verdadeira.
Suponhamos que
tem três extremos locais, digamos
. Como
é polinomial,
é derivável e pelo Teorema de Fermat,
são três zeros distintos de
. Por outro lado,
é também função polinomial de, no máximo, grau 2, e, como tal
tem, no máximo, duas raízes distintas. Chegamos a uma contradição. Concluímos que
não pode ter três extremos locais.
Suponhamos que
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “uma função polinomial de grau 3 não pode ter três extremos locais distintos” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve derivadas, Teorema de Fermat (extremo implica derivada zero) e propriedades de polinômios (um polinômio de grau
tem no máximo
raízes).
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja um polinômio de grau 3 e tenha três extremos locais em pontos distintos
. Pelo Teorema de Fermat, em cada extremo local a derivada se anula, ou seja,
Passo 3
Mas
tem grau 3, logo
tem grau 2. Um polinômio de grau 2 admite no máximo duas raízes reais distintas. Logo não pode ter três zeros distintos.
Passo 4
Chegamos a uma contradição: não existiriam três pontos distintos onde
. Portanto,
não pode ter três extremos locais distintos.
Resposta
A afirmação é verdadeira.