Decida se a afirmação “uma função polinomial de grau 3 não pode ter três extremos locais (distintos)” é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, justifique, e, caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Verdadeira.
Suponhamos que f tem três extremos locais, digamos x1<x2<x3. Como f é polinomial, f é derivável e pelo Teorema de Fermat, x1, x2, x3 são três zeros distintos de f^prime. Por outro lado, f^prime é também função polinomial de, no máximo, grau 2, e, como tal f^prime tem, no máximo, duas raízes distintas. Chegamos a uma contradição. Concluímos que f não pode ter três extremos locais.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “uma função polinomial de grau 3 não pode ter três extremos locais distintos” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve derivadas, Teorema de Fermat (extremo implica derivada zero) e propriedades de polinômios (um polinômio de grau n tem no máximo n raízes).

Passo 2

Suponha, por contradição, que f seja um polinômio de grau 3 e tenha três extremos locais em pontos distintos x1<x2<x3. Pelo Teorema de Fermat, em cada extremo local a derivada se anula, ou seja,
f'(x1)=0, f'(x2)=0, f'(x3)=0

Passo 3

Mas f tem grau 3, logo f' tem grau 2. Um polinômio de grau 2 admite no máximo duas raízes reais distintas. Logo não pode ter três zeros distintos.

Passo 4

Chegamos a uma contradição: não existiriam três pontos distintos onde f'(x)=0. Portanto, f não pode ter três extremos locais distintos.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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