5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
y ln x d x-2 y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
yln x,dx ;-;2y,dy ;=;0
e pede para resolvê-la por integração formal, indicando onde a solução está definida. Aqui vamos reconhecer que é uma equação de variáveis separáveis depois de dividir por y (supondo yneq0).

Passo 2

Dividindo toda a equação por y (com yneq0), obtemos
ln x,dx ;-;2,dy ;=;0
e daí podemos isolar dy:
2,dy = ln x,dx Longrightarrow dy = tfrac12,ln x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x (no lado direito) e y (no lado esquerdo):
integral dy ;=;tfrac12 integral ln x,dx

Passo 4

Para calcular integral ln x,dx usamos integração por partes, tomando u=ln x, dv=dx. Isso dá
integral ln x,dx = xln x - x + C1

Passo 5

Voltando à nossa igualdade,
y = tfrac12l(xln x - xr) + C,
onde C engloba tfrac12 C1. Podemos escrever de modo equivalente
2y = xln x - x + C Long<=ftrightarrow y = xln x - x2 + C

Passo 6

A solução usa ln x, logo só faz sentido real para x>0. Além disso, no passo 2 dividimos por y, então a fórmula geral vale quando yneq0. Note que yequiv0 é também uma solução trivial da equação original.

Resposta

A solução geral é
y = xln x - x2 + C,
definida para x>0 (e yneq0 no caso não trivial), além da solução trivial y=0.

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