5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê-la por integração formal, indicando onde a solução está definida. Aqui vamos reconhecer que é uma equação de variáveis separáveis depois de dividir por
(supondo
).
Passo 2
Dividindo toda a equação por
(com
), obtemos
e daí podemos isolar
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a
(no lado direito) e
(no lado esquerdo):
Passo 4
Para calcular
usamos integração por partes, tomando
,
. Isso dá
Passo 5
Voltando à nossa igualdade,
onde
engloba
. Podemos escrever de modo equivalente
Passo 6
A solução usa
, logo só faz sentido real para
. Além disso, no passo 2 dividimos por
, então a fórmula geral vale quando
. Note que
é também uma solução trivial da equação original.
Resposta
A solução geral é
definida para
(e
no caso não trivial), além da solução trivial
.