Sendo .)

Passo 1

O enunciado pede f'(0) para
f(x) = (sec x)^cos(x^2)-1,x^3+1,
O conteúdo principal é derivada de uma função na forma de potência a(x)^b(x) em x=0. Vamos precisar:
  1. Determinar f(0) via limite se necessário.
  2. Reescrever f(x) como exponencial e^h(x).
  3. Calcular h'(0), pois f'(0)=e^h(0),h'(0).

Passo 2

Primeiro, avaliamos f(0). Temos sec0=1 e
cos(0^2)-10^3+1 =1-11=0
Então f(0)=1^0. Para dar sentido, usamos
f(x)=expl(underbracecos(x^2)-1x^3+1A(x)cdotunderbraceln(sec x)B(x)r),
e vemos que A(x)ln(sec x)to0 quando xto0. Logo
f(0)=e^0=1

Passo 3

Definimos
h(x)=A(x),B(x) com A(x)=cos(x^2)-1x^3+1, B(x)=ln(sec x)
Assim f(x)=e^h(x).

Passo 4

A derivada em zero é
f'(0)=e^h(0),h'(0)=1cdot h'(0)=h'(0)
Para achar h'(0), usamos regra do produto:
h'(0)=A'(0),B(0)+A(0),B'(0)
Observamos
A(0)=0, B(0)=ln(sec0)=0,
logo cada termo do somatório é zero e
h'(0)=0

Resposta

f'(0)=0

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