Se g(x)=f^-1(x), nós sabemos que g^prime(f(x))=1f^prime(x). Lembra-se? Então, sendo f(x)=x^5+3 x^3-1, calcule g^prime(-5). Se esta informação puder lhe ajudar, use-a: -1 é raiz da equação x^5+ 3 x^3+4=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^5+3x^3-1
e define g=f^-1. Lembra que, de teoria, a derivada da inversa satisfaz
g'l(f(x)r)=1f'(x)
Como queremos g'(-5), o plano é:
  1. achar x0 tal que f(x0)=-5;
  2. usar g'(-5)=gl(f(x0)r)'=1/f'(x0).

Passo 2

Para achar x0 resolvemos
f(x0)=-5 Longrightarrow x0^5+3x0^3-1=-5 Longrightarrow x0^5+3x0^3+4=0
O enunciado informa que -1 é raiz dessa equação, logo
x0=-1

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=5x^4+9x^2
Em x0=-1 temos
f'(-1)=5cdot1+9cdot1=14
Portanto, pela fórmula da inversa,
g'(-5)=1f'(-1)=114

Resposta

114

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