5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
y^prime=5 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=5y
Como é um caso direto de separação de variáveis, vamos colocar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro para integrar.

Passo 2

Assumindo yneq0, reescrevemos
1y,dydx=5
o que equivale a
dyy=5,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dyy=integral 5,dx
que resulta em
ln|y|=5x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos:
|y|=e^Ce^5x
Definindo K=pm e^C, obtemos a forma geral
y(x)=K,e^5x, KinRsetminus0
Além disso, a escolha K=0 dá a solução trivial y(x)equiv0, que também satisfaz a EDO.

Passo 5

Domínio de definição: como e^5xneq0 para todo xinR, cada solução y(x)=K,e^5x (incluindo a trivial K=0) está definida em todo R.

Resposta

y(x)=C,e^5x, CinR,
definida para todo xinR.

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