Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+(e^x+x)^1 / x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0^+l(e^x+xr)^1/x
O conteúdo aqui é indeterminação do tipo 1^infty, e vamos usar transformação logarítmica e séries de Taylor para resolver.

Passo 2

Denotamos
L = limxto0^+l(e^x+xr)^1/x
Como a forma é 1^infty, aplicamos o logaritmo natural e estudamos
ln L = limxto0^+lnl(e^x+xr)x

Passo 3

Para achar lnl(e^x+xr) quando x é pequeno, usamos a expansão de Taylor de e^x em torno de 0:
e^x = 1 + x + tfracx^22 + O(x^3)
Logo
e^x+x = 1 + 2x + tfracx^22 + O(x^3)

Passo 4

Agora expandimos o logaritmo de 1+2x+tfracx^22+O(x^3):
lnl(e^x+xr) = lnl(1 + 2x + O(x^2)r) = 2x + O(x^2)
Portanto,
lnl(e^x+xr)x = 2x + O(x^2)x = 2 + O(x)

Passo 5

Tomando o limite em xto0^+, temos
ln L = limxto0^+l(2 + O(x)r) = 2
Assim
L = e^,2

Resposta

e^2

Exercícios relacionados