4.4D Um campo radial de forças no plano é descrito por F(x, y)=f(r) r, onde r=x i+y j e r=|r|. Admitindo f de classe C^1, verifique que um tal campo é conservativo e calcule a integral integralgamma f(r) r cdot d r sobre o semicírculo gamma: x^2+y^2=1, y >= 0. [resp. 0 . Note que ao longo do semicírculo tem-se: r cdot d r=0 ]

Passo 1

O enunciado define o campo vec F(x,y)=f(r),vec r, onde vec r=(x,y) e r=|vec r|. Pede para verificar que vec F é conservativo e calcular
integralgammaf(r),vec rcdot dvec r
sobre o semicírculo gammacolon x^2+y^2=1,;y>=0. Vamos usar o teste de conservatividade (curl zero) e depois o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Escrevendo as componentes
F1=f(r),x, F2=f(r),y,
calculamos as derivadas mistas para r>0:
partial F1partial y =partialpartial yl(f(r),xr) =f'(r),yr,x,
partial F2partial x =partialpartial xl(f(r),yr) =f'(r),xr,y
Como partial F1/partial y=partial F2/partial x, o curl é zero e vec F é conservativo em qualquer região sem o ponto r=0.

Passo 3

Para exibir explicitamente o potencial, note que a parte radial sugere escolher
phi(x,y) =integral0^rf(s),s,ds
Então
nablaphi =phi'(r),nabla r =f(r),nabla!l(tfrac12r^2r) =f(r),vec r =vec F,
confirmando que phi é um potencial de vec F.

Passo 4

Usando o teorema fundamental para campos conservativos,
integralgammavec Fcdot dvec r=phil(gamma(fim)r)-phil(gamma(início)r)í
Os extremos de gamma são (-1,0) e (1,0), ambos com r=1, logo
phi(1,0)-phi(-1,0) =integral0^1f(s),s,ds -integral0^1f(s),s,ds =0
Alternativamente, como em cada ponto de gamma vale r=1 e dvec r é tangente à circunferência, tem-se
vec rcdot dvec r=0 Longrightarrow f(r),vec rcdot dvec r=0
em toda gamma, confirmando que a integral é zero.

Resposta

0

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