4.4D Um campo radial de forças no plano é descrito por
, onde
e
. Admitindo
de classe
, verifique que um tal campo é conservativo e calcule a integral
sobre o semicírculo
. [resp. 0 . Note que ao longo do semicírculo tem-se:
]
Passo 1
O enunciado define o campo
, onde
e
. Pede para verificar que
é conservativo e calcular
sobre o semicírculo . Vamos usar o teste de conservatividade (curl zero) e depois o teorema fundamental das integrais de linha.
sobre o semicírculo
Passo 2
Escrevendo as componentes
,
calculamos as derivadas mistas para :
calculamos as derivadas mistas para
Como
, o curl é zero e
é conservativo em qualquer região sem o ponto
.
Passo 3
Para exibir explicitamente o potencial, note que a parte radial sugere escolher
Então
confirmando que
é um potencial de
.
Passo 4
Usando o teorema fundamental para campos conservativos,
Os extremos de são
e
, ambos com
, logo
Os extremos de
Alternativamente, como em cada ponto de
vale
e
é tangente à circunferência, tem-se
em toda
, confirmando que a integral é zero.