3.4C Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver
como série de potências em
partindo da fórmula base
e determinar o raio e o intervalo de convergência. Aqui vamos usar também a expansão conhecida
Passo 2
Começo fazendo a substituição
na expansão de
. Assim, para
vale
Passo 3
Agora multiplico essa série por
:
Passo 4
Para combinar as duas somas, observe que na segunda soma podemos trocar o índice: defina
, então
Na primeira soma temos
. Somando termo a termo, o coeficiente de
fica
Passo 5
Portanto a série resultante é
Passo 6
Como a expansão em
exigia
, o raio de convergência em
é
e o intervalo de convergência é