3.4C Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para representar
como série de potências em e determinar o raio e o intervalo de convergência.
Conteúdo: usar a série geométrica
e suas operações (diferenciação e substituição).
como série de potências em
Conteúdo: usar a série geométrica
e suas operações (diferenciação e substituição).
Passo 2
Começamos lembrando que, para
,
Diferenciando em relação a
, obtemos
onde na última igualdade reindexamos
.
Passo 3
Agora fazemos a substituição
. Para
(isto é,
), vale
Multiplicando ambos os lados por
, concluímos
Passo 4
A condição de convergência vem de
, ou seja
.
Logo o raio de convergência é e o intervalo de convergência é
Logo o raio de convergência é