3.4C Começando com a fórmula \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
\frac{x^{3}}{\left(1-x^{4}\right)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para representar \displaystyle \frac{x^{3}}{(1 - x^{4})^{2}}
como série de potências em x e determinar o raio e o intervalo de convergência.
Conteúdo: usar a série geométrica \displaystyle \frac{1}{1 - x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}
e suas operações (diferenciação e substituição).

Passo 2

Começamos lembrando que, para |u|<1,
\frac{1}{1 - u} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.
Diferenciando em relação a u, obtemos
\frac{d}{du}\biggl(\frac{1}{1-u}\biggr) =\frac{1}{(1-u)^{2}} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}n\,u^{\,n-1} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,u^{n}\,,
onde na última igualdade reindexamos n\mapsto n+1.

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=x^{4}. Para |x^{4}|<1 (isto é, |x|<1), vale
\frac{1}{(1 - x^{4})^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{4n}.
Multiplicando ambos os lados por x^{3}, concluímos
\frac{x^{3}}{(1 - x^{4})^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{4n+3}.

Passo 4

A condição de convergência vem de |x^{4}|<1, ou seja |x|<1.
Logo o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-1,1).

Resposta

\frac{x^{3}}{(1 - x^{4})^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{4n+3}, \quad R=1, \quad \text{intervalo de convergência }(-1,1).ê

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