5.4C Encontre a solução geral de cada edo dada a seguir:
(1+e^x) y y^prime=e^x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+e^x),y,y' = e^x.
Trata-se de uma EDO de primeira ordem e variáveis separáveis, pois podemos escrever todos os termos em y de um lado e em x de outro.

Passo 2

Substituindo y' = dfracdydx, reescrevemos a EDO como
(1+e^x),y,dydx = e^x
Agora separamos as variáveis:
y,dy = e^x1+e^x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral e^x1+e^x,dx
No lado esquerdo,
integral y,dy = y^22
No lado direito, fazemos a substituição u = 1+e^x, de onde du = e^xdx, logo
integral e^x1+e^x,dx = integral duu = ln(u) = ln(1+e^x)
Devemos ainda acrescentar a constante de integração, que chamaremos de C.

Passo 4

Igualando os resultados das integrais:
y^22 = ln(1+e^x) + C
Multiplicando por 2 e renomeando 2C como C, obtemos
y^2 = 2ln(1+e^x) + C
Por fim, isolamos y:
y(x) = pm raiz2ln(1+e^x) + C

Resposta

y^2 = 2ln(1+e^x) + C, ou y(x) = pmraiz2ln(1+e^x) + C,
onde C é constante arbitrária.

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