Exercício 19. (F. 4.3, ex.5) Resolva a equação abaixo:
Passo 1
O problema é um valor-inicial de uma equação de onda com termo de reação
em
(t,x)in]0,infty[times]0,l[ , com condições de contorno
u(t,0)=u(t,l)=0 e iniciais
Vamos usar separação de variáveis e séries de senos para resolver.
Passo 2
Procuramos solução da forma
Pelas condições de contorno impomos
levando ao problema de autovalores
cujas soluções são
Passo 3
Inserindo
u=sum TnXn na PDE e usando ortogonalidade dos
Xn , cada modo satisfaz
Definindo
temos a EDO de oscilador harmónico
cuja solução geral é
Passo 4
Para determinar
An e
Bn , projetamos as condições iniciais em cada modo:
Usando a ortogonalidade
obtemos os coeficientes da expansão em série de senos:
Passo 5
Substituindo tudo, a solução final é
onde
e
Resposta
com
omegan=raizc^2(npi/l)^2+a^2 .