Exercício 19. (F. 4.3, ex.5) Resolva a equação abaixo:
c partial^2 upartial t^2(t, x)=c^2 partial^2 upartial x^2(t, x)-a^2 u(t, x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=u(t, l)=0, t>0 u(0, x)=f(x), forall x in] 0, l[ partial upartial t(0, x)=g(x), forall x in] 0, l[

Passo 1

O problema é um valor-inicial de uma equação de onda com termo de reação
partial^2upartial t^2(t,x)=c^2partial^2upartial x^2(t,x)-a^2u(t,x)
em (t,x)in]0,infty[times]0,l[, com condições de contorno u(t,0)=u(t,l)=0 e iniciais
u(0,x)=f(x), partial upartial t(0,x)=g(x)
Vamos usar separação de variáveis e séries de senos para resolver.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(t,x)=sumn=1^inftyTn(t),Xn(x)
Pelas condições de contorno impomos
Xn(0)=Xn(l)=0,
levando ao problema de autovalores
X''+lambda X=0, X(0)=X(l)=0,
cujas soluções são
lambdan=l(npilr)^2, Xn(x)=sin!l(npi xlr)

Passo 3

Inserindo u=sum TnXn na PDE e usando ortogonalidade dos Xn, cada modo satisfaz
Tn''(t)+l(c^2lambdan+a^2r),Tn(t)=0
Definindo
omegan=raizc^2l(npilr)^2+a^2,
temos a EDO de oscilador harmónico
Tn''+omegan^2,Tn=0,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)

Passo 4

Para determinar An e Bn, projetamos as condições iniciais em cada modo:
u(0,x)=sumn=1^infty An,Xn(x)=f(x), partial upartial t(0,x)=sumn=1^infty omegan Bn,Xn(x)=g(x)
Usando a ortogonalidade
integral0^lsin!l(tfracnpi xlr)sin!l(tfracmpi xlr),dx =l2,de<anm,
obtemos os coeficientes da expansão em série de senos:
An=2lintegral0^lf(x)sin!l(npi xlr),dx equiv fn,
omegan Bn=2lintegral0^lg(x)sin!l(npi xlr),dx equiv gn Longrightarrow Bn=gnomegan

Passo 5

Substituindo tudo, a solução final é
u(t,x) =sumn=1^inftysin!l(npi xlr)l[fncos(omegan t) +gnomegansin(omegan t)r],
onde
fn=2lintegral0^lf(x)sin!l(npi xlr),dx, gn=2lintegral0^lg(x)sin!l(npi xlr),dx,
e
omegan=raizc^2l(npilr)^2+a^2

Resposta

u(t,x) =sumn=1^inftysin!l(npi xlr)l[ l(tfrac2l!integral0^lf(s)sin!tfracnpi sl,dsr)cos(omegan t) + l(tfrac2l!integral0^lg(s)sin!tfracnpi sl,dsr)sin(omegan t)omegan r],
com omegan=raizc^2(npi/l)^2+a^2.

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