Exercício 17. (F. 4.2, ex.3) Resolva a equação abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=0, partial upartial x(t, l)=C, t>0 u(0, x)=50, forall x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do calor
partial upartial t(t,x)=k,partial^2upartial x^2(t,x),
com condições de contorno mistas
u(t,0)=0, partial upartial x(t,l)=C,
e condição inicial
u(0,x)=50
Para resolver precisamos:
bul<=t Encontrar uma solução estacionária U(x) que satisfaça as CC.BB. não homogêneas.
bul<=t Escrever u(t,x)=v(t,x)+U(x), de modo que v obedeça às CC.BB. homogêneas.
bul<=t Resolver o problema de v por separação de variáveis e desenvolver em série de autovalores.

Passo 2

Procuramos U(x) tal que
0 = k,U''(x), U(0)=0, U'(l)=C
Integrando U''=0 vem
U(x)=A,x+B
Da condição U(0)=0 obtemos B=0. Da condição U'(l)=A=C segue
U(x)=C,x

Passo 3

Definimos
v(t,x)=u(t,x)-U(x)
Então
vt = ut - 0 = k,uxx = k,vxx,
e as CC.BB. tornam-se
v(t,0)=u(t,0)-U(0)=0, vx(t,l)=ux(t,l)-U'(l)=C-C=0
A condição inicial vira
v(0,x)=u(0,x)-U(x)=50 - C,x

Passo 4

Aplicamos separação de variáveis em
vt = k,vxx, v(t,0)=0,;vx(t,l)=0
Buscamos modos v(t,x)=T(t),X(x). Da divisão por kTX vem
T'kT = X''X = -lambda
O problema de autovalores para X é
X'' + lambda X = 0, X(0)=0,;X'(l)=0
As raízes são
raizlambda,l=(2n+1)pi2, n=0,1,2,dots
Logo
lambdan = gl((2n+1)pi2,lgr)^2, Xn(x)=sin!l(mun xr),
com mun=tfrac(2n+1)pi2l. O modo temporal é
Tn(t)=expl(-k,lambdan,tr)

Passo 5

Escrevemos a expansão de v
v(t,x)=sumn=0^inftyan,e^-kmun^2,t,sin(mun x)
Os coeficientes vêm de
v(0,x)=50-Cx=sumn=0^infty ansin(mun x),
com a ortogonalidade integral0^lsin^2(mun x),dx=tfracl2. Assim
an = 2lintegral0^ll(50 - Cxr)sin(mun x),dx
Calculando as integrais
integral0^lsin(mun x),dx=1-cos(mun l)mun=1mun,
integral0^l xsin(mun x),dx =sin(mun l)-mun lcos(mun l)mun^2 =(-1)^nmun^2,
vem
an = 2ll(50mun-C,(-1)^nmun^2r)

Passo 6

Voltando a u, temos
u(t,x)=U(x)+v(t,x) = C,x + sumn=0^infty 2ll(50mun-C,(-1)^nmun^2r) e^-kmun^2,t,sin(mun x),
onde mun=tfrac(2n+1)pi2l.

Resposta

boxed u(t,x)=C,x +sumn=0^infty 2ll(tfrac50mun-tfracC,(-1)^nmun^2r) e^-k,mun^2,t,sinl(mun xr), mun=(2n+1)pi2l

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