5.4C Encontre a solução geral de cada edo dada a seguir:
x^2 y^prime-x y=x^3+4

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x^2y' - x,y = x^3 + 4
Percebemos que é uma EDO linear na forma y' + P(x),y = Q(x). Para resolver usamos o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão dividindo tudo por x^2 (supondo xneq0):
y' - 1x,y = x + 4x^-2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln|x|) = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x)=x^-1, obtendo
x^-1y' - x^-2y = 1 + 4x^-3
O lado esquerdo é exatamente a derivada de mu(x)y = x^-1y, isto é,
ddxl(x^-1yr) = 1 + 4x^-3

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-1y = integrall(1 + 4x^-3r),dx = x - 2x^-2 + C

Passo 6

Isolamos y multiplicando por x:
y = xl(x - 2x^-2 + Cr) = x^2 - 2x^-1 + Cx

Resposta

y = x^2 + C,x - 2x,
onde C é a constante de integração.

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