Exercício 11. Mostre que
integralR^d e^-|x|^2 d x=pi^d / 2
Dica: Considerar inicialmente o caso d=1 e concluir o caso geral separando em d integrais unidimensionais. Por sua vez, o caso d=1 pode ser obtido procedendo como segue:
(integral-infty^infty e^-x^2 d x)^2=integralR^2 e^-(x^2+y^2) d x d y=integral0^2 pi integral0^+infty r e^-r^2 d r d theta=pi

Passo 1

O enunciado pede para provar que
integralR^d e^-|x|^2,dx = pi^d/2
Vamos primeiro tratar o caso d=1 e depois estender o resultado ao caso geral por fatorização em d integrais unidimensionais.

Passo 2

Definimos
I = integral-infty^infty e^-x^2,dx
Então
I^2 = (integral-infty^infty e^-x^2,dx) (integral-infty^infty e^-y^2,dy) = integralR^2 e^-(x^2 + y^2) ,dx,dy

Passo 3

Usamos coordenadas polares no plano (x,y):
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta
Assim,
I^2 = integral0^2pi integral0^infty e^-r^2,r,dr,dtheta = integral0^2pi l[integral0^infty r,e^-r^2,drr],dtheta
Fazendo a substituição u=r^2 na integral interna, obtemos
integral0^infty r,e^-r^2,dr = [-tfrac12 e^-r^2]0^infty = tfrac12,
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I^2 = integral0^2pi tfrac12,dtheta = pi

Passo 4

Como I^2 = pi e I>0, segue que
I = raizpi

Passo 5

No caso geral, aplicando Fubini em R^d, temos
integralR^d e^-|x|^2,dx = integralR^d e^-(x1^2 + cdots + xd^2),dx1cdots dxd = prodi=1^d l(integral-infty^infty e^-xi^2,dxir) = (raizpi)^d = pi^d/2

Resposta

integralR^d e^-|x|^2,dx = pi^tfrac d2

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