Calcule
a equação da reta tangente à curva y=x e^-x^2 no ponto (1,1 / e)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
y = x e^-x^2
no ponto l(1,tfrac1er). O conteúdo que vamos usar é derivada de função dada por produto e regra da cadeia para obter o coeficiente angular m = y'(1), e em seguida a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Para encontrar y' usamos a regra do produto:
y' = ddxl(xr),e^-x^2 + x,ddxl(e^-x^2r)
A primeira derivada é 1cdot e^-x^2. Para a segunda aplicamos a regra da cadeia:
ddx(e^-x^2) = e^-x^2cdot ddx(-x^2) = -2x,e^-x^2

Passo 3

Substituindo na expressão de y':
y' = e^-x^2 + xl(-2x,e^-x^2r) = e^-x^2,(1 - 2x^2)
Avaliando em x=1:
m = y'(1) = e^-1,(1 - 2cdot1^2) = e^-1,(1 - 2) = -,1e

Passo 4

A equação da reta tangente na forma ponto-declive é
y - y0 = m,(x - x0),
onde l(x0,y0r)=(1,tfrac1e) e m=-tfrac1e. Logo
y - 1e = -1e,(x - 1)
Podemos reescrever em forma explicita:
y = -1ex + 1e + 1e = -1ex + 2e

Resposta

y - 1e = -1e(x - 1) ou y = -1e,x + 2e

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