Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções da forma (f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}), em que § e (Q) são polinômios e (Q) não tem raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = l,f:RtoRmid f(x)=tfracP(x)Q(x),;P,Q polinômios,;Q sem raízes reaisr ôí
é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos checar os requisitos básicos: fecho na soma, fecho na multiplicação escalar, existência do elemento zero e do inverso aditivo.

Passo 2

(Fecho na soma)
Sejam
f1(x)=P1(x)Q1(x), f2(x)=P2(x)Q2(x),
com Q1 e Q2 sem raízes reais. Então
f1(x)+f2(x) =P1(x)Q1(x)+P2(x)Q2(x) =P1(x),Q2(x)+P2(x),Q1(x)Q1(x),Q2(x)
O denominador Q1(x)Q2(x) é um polinômio cuja raiz real exigiria raiz real em Q1 ou Q2, o que não ocorre. Logo f1+f2in V.

Passo 3

(Fecho na multiplicação escalar)
Para alphainR e f(x)=P(x)/Q(x)in V temos
alpha f(x)=alpha,P(x)Q(x),
onde alpha P é polinômio e Q continua sem raízes reais. Logo alpha fin V.

Passo 4

(Elemento zero e inverso aditivo)
O elemento zero em V é a função 0(x)equiv0, que pode ser escrita como
0(x)=0Q0(x),
para qualquer polinômio Q0 sem raízes reais. O inverso aditivo de f(x)=P(x)/Q(x) é
-f(x)=-P(x)Q(x),
que também está em V.

Passo 5

(Conclusão)
Como V é fechado sob soma, fechado sob multiplicação por escalar, contém o zero e o inverso aditivo, ele satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto dado é um espaço vetorial.

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