Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções da forma (f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}), em que § e (Q) são polinômios e (Q) não tem raízes reais.
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções da forma (f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}), em que § e (Q) são polinômios e (Q) não tem raízes reais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos checar os requisitos básicos: fecho na soma, fecho na multiplicação escalar, existência do elemento zero e do inverso aditivo.
Passo 2
(Fecho na soma)
Sejam
Sejam
com
e
sem raízes reais. Então
O denominador
é um polinômio cuja raiz real exigiria raiz real em
ou
, o que não ocorre. Logo
.
Passo 3
(Fecho na multiplicação escalar)
Para e
temos
Para
onde
é polinômio e
continua sem raízes reais. Logo
.
Passo 4
(Elemento zero e inverso aditivo)
O elemento zero em é a função
, que pode ser escrita como
O elemento zero em
para qualquer polinômio
sem raízes reais. O inverso aditivo de
é
que também está em
.
Passo 5
(Conclusão)
Como é fechado sob soma, fechado sob multiplicação por escalar, contém o zero e o inverso aditivo, ele satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Como
Resposta
O conjunto dado é um espaço vetorial.