8.4C Encontre a solução geral dos seguintes sistemas:
ldotx1=3 x1-3 x2+2 x3 dotx2=2 x1-x2 dotx3=x1-x2+x3

Passo 1

O enunciado dá o sistema
dot x1=3x1-3x2+2x3, dot x2=2x1-x2, dot x3=x1-x2+x3,
que escrevemos em forma matricial como dot X = A,X, com
A = 3 & -3 & 2 2 & -1 & 0 1 & -1 & 1
O conteúdo é solução de sistemas lineares por valores próprios e forma de Jordan; vamos achar o polinômio característico, os vetores próprios e, como a raiz for de multiplicidade 3 com única direção própria, encontraremos as cadeias de vetores generalizados.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) =det 3-lambda & -3 & 2 2 & -1-lambda & 0 1 & -1 & 1-lambda =(lambda-1)^3
Logo a única raiz é lambda=1 de multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Vetor próprio ,v1 satisfaz (A-I)v1=0. Resolvendo
(A-I)=2&-3&22&-2&01&-1&0,
obtém-se a direção única
v1=(2,2,1)^T

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de vetores generalizados v2,v3 tais que
(A-I)v2=v1, (A-I)v3=v2
Escolhendo soluções convenientes, por exemplo
v2=(1,0,0)^T, v3=(1,1,1)^T,
verifica-se diretamente que (A-I)v2=v1 e (A-I)v3=v2.

Passo 5

Para um bloco de Jordan de tamanho 3 com valor próprio 1 e cadeia (v1,v2,v3), a solução geral é
X(t) =C1 e^tv1 + C2 e^tl(t,v1+v2r) + C3 e^tl(tfract^22v1+t,v2+v3r),
com constantes C1,C2,C3in R. Substituindo os vetores:
v1=221,; v2=100,; v3=111

Resposta

X(t) =C1 e^t221 + C2 e^tl(t221+100r) + C3 e^tl(tfract^22221 +t100 +111r)

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