Calcule f^prime(p) :
f(x)=ln (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(p) da função f(x)=ln(x). O conteúdo envolvido é derivação de logaritmo natural, que pode ser feito usando a definição de derivada via limite do quociente incremental e a propriedade
limuto 0ln(1+u)u=1

Passo 2

Pela definição de derivada em x=p, temos
f'(p)=limhto 0f(p+h)-f(p)h

Passo 3

Substituindo f(x)=ln(x) no quociente incremental, obtemos
f(p+h)-f(p)h =ln(p+h)-ln(p)h =ln!l(tfracp+hpr)h =ln!l(1+tfrachpr)h

Passo 4

Fazendo a mudança de variável u=tfrachp, quando hto0 segue uto0 e h=p,u. Logo,
f'(p) =limuto0ln(1+u)p,u =1p,limuto0ln(1+u)u =1p

Resposta

f'(p)=1p

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