Exercício 1. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 3 e 4) Seja um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo), e operadores auto-adjuntos.
Mostre que também é auto-adjunto.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo) com produto interno, e um operador linear auto-adjunto
Queremos mostrar que, para todo inteiro positivo , o operador
é também auto-adjunto, ou seja, (T^n)^*=T^n. Para isso, vamos usar a definição de adjunto e a propriedade de adjunto de produto de operadores.
Passo 2
Definição e propriedade básica: num espaço com produto interno, o adjunto de um operador A é o único operador A^* tal que
lang<= A(v),wrang<= = lang<= v,A^*(w)rang<= para todos v,win V
Além disso, vale a propriedade de adjunto de produto: se A e B são operadores em V, então
( Acirc B )^* = B^* circ A^*
Passo 3
Proposição chave: para todo inteiro n>=1,
(T^n)^* = (T^*)^n
Demonstração por indução sobre n:
Base (n=1):
(T^1)^* = T^* = (T^*)^1,
que é verdade por hipótese.
Passo indutivo: suponha que (T^n)^* = (T^*)^n. Então, usando a propriedade de adjunto de produto para T^n+1 = Tcirc T^n, temos
(T^n+1)^* = (Tcirc T^n)^* = (T^n)^* circ T^*
Pela hipótese de indução (T^n)^* = (T^*)^n e por T^*=T, concluímos
(T^n+1)^* = (T^*)^n circ T = (T^*)^n+1
Passo 4
Como T é auto-adjunto, T^*=T. Substituindo na igualdade (T^n)^* = (T^*)^n, obtemos
(T^n)^* = T^n,
ou seja, T^n também é auto-adjunto.
Resposta
Mostramos que para todo n>=1 vale (T^n)^*=(T^*)^n e, como T^*=T, segue (T^n)^*=T^n. Portanto, T^n é auto-adjunto.