Exercício 1. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 3 e 4) Seja
um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo),
e
operadores auto-adjuntos.
Mostre que se
for invertível, então
também é auto-adjunto.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo) com produto interno, e que
é auto-adjunto e invertível. Precisamos mostrar que o inverso
também satisfaz
para todos
.
Passo 2
Lembrando a definição de operador adjunto: para um operador linear
existe um único
tal que
Quando
é auto-adjunto, temos
, ou seja
Passo 3
Para mostrar que
é auto-adjunto, peguemos vetores arbitrários
e escrevamos
. Então
Como
é auto-adjunto, podemos “passar” o
para o primeiro fator do produto interno:
Passo 4
Mas
, portanto
Isso mostra exatamente que
, ou seja,
é auto-adjunto.