Exercício 1. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 3 e 4) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo), T: V V e S: V V operadores auto-adjuntos.
Mostre que se T for invertível, então T^-1 também é auto-adjunto.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo) com produto interno, e que T:Vto V é auto-adjunto e invertível. Precisamos mostrar que o inverso T^-1 também satisfaz
llang<= T^-1x,yrrang<= ;=;llang<= x,,T^-1yrrang<=
para todos x,yin V.

Passo 2

Lembrando a definição de operador adjunto: para um operador linear A existe um único A^* tal que
llang<= A x,yrrang<= ;=;llang<= x,,A^*yrrang<= forall x,yin V
Quando A é auto-adjunto, temos A^*=A, ou seja
llang<= A x,yrrang<= ;=;llang<= x,,A yrrang<= forall x,yin V

Passo 3

Para mostrar que T^-1 é auto-adjunto, peguemos vetores arbitrários x,yin V e escrevamos y=Tl(T^-1yr). Então
llang<= T^-1x,,yrrang<= = llang<= T^-1x,,Tl(T^-1yr)rrang<=
Como T é auto-adjunto, podemos “passar” o T para o primeiro fator do produto interno:
llang<= T^-1x,,T(T^-1y)rrang<= = llang<= Tl(T^-1xr),,T^-1yrrang<=

Passo 4

Mas Tl(T^-1xr)=x, portanto
llang<= T^-1x,,yrrang<= = llang<= x,,T^-1yrrang<= forall x,yin V
Isso mostra exatamente que (T^-1)^*=T^-1, ou seja, T^-1 é auto-adjunto.

Resposta

T^-1 é auto-adjunto, pois para todos x,yin V vale
llang<= T^-1x,,yrrang<= = llang<= x,,T^-1yrrang<=

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